مثال على عرض المحتوى على المدونات

نهتم فى هذه المدونة بجميع الصفوف بالمرحلة الاعدادية
ومنها الصف الثانى الاعدادى الذى سنعرض لجزء من محتوى هذا الصف ليكون ممثلا لعرض المحتوى التعليمى بطريقة مبسطة على المدونات فيما يلى:

ملحوظة مهمة:

المحتوى أثناء عرضه نعرض معه التقويم فى أخر كل جزئية من الدرس للتأكد من تحقيق الاهداف السلوكية للمتعلم أول بأول .
 الصف الثانى الاعدادى
الجبر-الوحدة الاولى(التحليل) -التيرم الثانى
عنوان الدرس/ تحليل المقاديرالجبرية

تحليل المقدار الثلاثي ( س2 + ب س + جـ )

·        قبل البدء في تحليل المقدار الثلاثي يراعى الاتى:-

·        ترتيب حدود المقدار تنازليا حسب أسس الرموز المعطاة

·        إخراج ع.م.أ بين حدود المقدار.

·        فك الأقواس واختصار المقدار الجبري

  حلل كلا مما ياتى :-

1) س²+56 – 15س                    2) م (م+1) - 18

3) 3 أ³+ 9 أ²- 120 أ                   4) س² + س ص – 12 ص²

الحل 

1  ) س²+56 – 15س = س² – 15 س +56

                            = ( س- 7 ) ( س – 8)

2)  م (م+1) – 18  = م² + 7م – 18

                          =  (م+ 9) ( م- 2)

 3)3 أ³+ 9 أ²- 120 أ = 3 أ ( أ2 + 3 أ – 40 )

                             = 3 أ ( أ + 8) ( أ – 5 )

4) س² + س ص – 12 ص²= ( س – 3 ص ) ( س + 4 ص )

ملا حظات هامه :-

·        عند تحليل المقدار الثلاثي س2 + ب س + جـ على صوره (س + ل ) (س + م)

·        إذا كانت اشاره جـ موجبه (حاصل ضرب العددين موجب )فان:ل,م لهما نفس إشارة جـ .

إذا كانت جـ سالبه (حاصل ضرب العددين سالب) فإن:ل,م مختلفان في الإشارة وأكبرهما عدديا له نفس اشاره (ب).

حلل كلا مما يأتي :

·        ص³ + ص² – 6 ص                *      -2 س² -2 س +40

·        2 أ² + 38 أ + 96                   *       2أ⁴ – 24 أ² ب² -26 ب⁴

اوجد قيمه جـ بحيث يكون المقدار قابلا للتحليل , وحلله :-

·        س² +جـ س – 15                    *       س² – 7 س + جـ

 

·        أ² + أ – جـ                             *      س² + جـ س +2                                                                                   

                                                            

                       
     

تحليل المقدار على صورة ( أ س² +ب س +جـ )

                

·        نحلل أس² إلى عاملين ’’ ل س , م س ,, ونكتبهما داخل القوسين :

  ( ل س         + ن )

  ( م س         + هـ )

                                            

                                                

·        نحلل الحد الأخير جـ إلى عاملين ’’ ن ,هـ ,, ونكتبهما داخل القوسين

·        نوجد ( حاصل ضرب الطرفين + حاصل ضرب الوسطين ) فإذا كان المجموع مساويا الحد الأوسط في المقدار الثلاثي             (  كان التحليل صحيحا ) , وإلا نجرى محا ولات أخرى للوصول للحل الصحيح . 

ملا حظات :-

ü     إذا كانت إشارة الحد الأخير في المقدار الثلاثي موجبه فان : إشارة الوسط في كل من القوسين تأخذ إشارة الوسط :

ü     إذا كانت إشارة الحد الأخير في المقدار الثلاثي موجبه فان: إشارتي الوسط في القوسين مختلفتان .

حلل كلا مما ياتى :-

ü      2 س² – س – 6                   *     48 س³ – 112 س² -20س

ü      14 س² – 11 س ص – 15 ص²        *    6 أ – 27 + 5أ²       

الحـل :

·        2 س² – س – 6   = ( 2س +3)( س- 2 )

·        48 س³ – 112 س² -20س  

نلا حظ وجود ع.م.أ بين حدود المقدار وهو: 4س

                                             = 4س ( 12 س2 – 28 س-5 )

                                             = 4س ( 6س+1 )( 2س  - 5 )

·        14 س² – 11 س ص – 15 ص²   = ( 7س+5ص)(2س-3ص)

·        6 أ – 27 + 5أ²      (( بترتيب حدود المقدار تنازليا ))

         6 أ – 27 + 5أ²      = 5أ² +6أ -27

                                   = ( 5أ- 9) ( أ+ 3 )

حـلل كلا مما ياتـى :-

ü     2س²+3س+1                   *   3س²- 20س ص - 7ص²

ü     12أ²- أ- 6                       *    7س ⁴+ 23س²ص -30  ص²

ü     12(جـ + د ) س² + 68(جـ + د) س + 80 ( جـ + د )

أكمل كلا مما ياتى:-

·        إذا كان ( س+1 )  أحد عوامل المقدار : أحد عوامل المقدار

              5س²- 2س -  7     فإن العامل الآخر.............

·        إذا كان ( 2س – 7)  أحد عوامل المقدار:  4س² -8س -21 

              فإن العامل الآخر...........

اوجد قيمه  جـ  بحيث يكون المقدار التالي قابلا للتحليل وحلله :-

 *  جـ س² + س + 15                 *   جـ س² + 13 س + 6  

 

۩ المقدار الثلاثي المربع الكامل ۩

إذا كان المقدار الثلاثي مربعا كاملا فانه يمكن تحليله على الصورة:-

(الجذر التربيعى للحد الاول± الجذر التربيعى للحد الثانى )²

مع مراعاة: الإشارة بين الحدين داخل القوس تكون مماثله لإ شارة  الحد الأوسط في المقدار.

حلل كلا مما ياتى :-

*    25أ² + 20 أ +4  4               *     25 س⁴ – 90 س² ص + 81ص²                                                               

*28 س – 49 س² – 4                                                                         

استخدم التحليــل لإيجــاد قيمــه كل ممــا يا تـــى :

·        ( 87 )²+ 2×13×87 + (13)²

·        (20.7)²  –  1.4× 20.7  +  (0.7)²

أكمــل ما يأتــي :-

     *    إذا كان س² +14 س + ب    مربعا كاملا فان :     ب= ............

  

    *     إذا كان س² +ك س + 25  مربعا كامل فان ك =........   

 

    *    قيمه ك   التي تجعل المقدار    16 س² – 24 + ك  مربعا كاملا هي:.........

    *    المقدار  أ س²  - 40 س + 25   يكون مربعا  كاملا إذا كان  أ = .........

 

۩تحليــل الفــرق بين المـربعيــن۩

  

الفـرق بيـن مربعي كميتيـن = مجمــوع الكميتيـن × الفــرق بينهمـا.

( س+ ص) ( س- ص) = س² – ص²

 

 

حـلل كلا مما ياتى :-

 *      س² – 25                      

   * ( س + ص )² – 9        

    *  18 س² – 50 ص²

   

*     16س² ( س + ص ) –  ص2 ( س + ص ) 

 

حـل الأمثلة:-

• س² – 25 = ( س – 5 ) ( س + 5 ) 
•  ( س + ص )² – 9 =  [ (س + ص ) – 3] [ ( س+ ص ) + 3 ] 
• 18 س² – 50 ص²   =  2 ( 9 س² – 25 ص² )

                                             =  2 ( 3 س + 5 ص  ) (  3 س – 5 ص )

•     16 س² ( س + ص ) –  ص2 ( س + ص )

             = ( س + ص ) [ 16 س² – ص² ]

             =  ( س + ص )[  ( 4 س – ص ) ( 4 س + ص ) ]  

 

تمـارين:- ((حـلل كلا مما ياتـى تحليــلا كامــلا ))

 1)    1 – ( أ – 1 )²                      2)    أ² ب²  - ( أ ب – 1)²

 3)     س⁴ – 1                             4)     س³ ص – س ص⁵ 

 5)    (  2 أ +ب )² – ( أ – ب)²        6)    8 س² – 512

·        إذا كان   س ص  = 8  اوجد القيمة العددية للمقدار :  (  س + ص ) 2 - ( س – ص )²

·        إذا كان أ تربيع– ب^تربيع = 45  ,  أ – ب = 5 فان : الجذر التربيعى المقدار(أ+ب) = ..........

استخــدم التحليـل لإيجـاد قيمـة ما ياتـى :-

*       (77 )²  - (23 )²                        *   (8.27)²  -  ( 1.23)²

*    ( 999)² – 1                             *   ( 11.6)² -  (  1.6)²

 

** تحليـل  مجموع المكعبين والفـرق بينهما **

 أولا)   تحليـل مجمـوع المكعبيـن:-

·        نعلم أن:  ( أ + ب) ( أ² – أ ب + ب² )

                      =  أ³ – أ² ب + أ ب² + أ²ب – أب² + ب³

                      =  أ³ + ب³

     من ذلك نستنج أن:

                     أ³ + ب³ = ( أ + ب ) ( أ² – أب + ب² )

Ex )  حلل:-   س³ + 8 = ( س + 2) ( س² – 2س + 4 )

ثانيا)   تحليـل الفــرق بيـن المكعبيـن :- 

·        بالمثل:   ( س – ص ) ( س² + س ص + ص² )

                      =  (س³ + س² ص + س ص² – س² ص – س ص² – ص³ )

                      =  س³ – ص³

Ex )  حـلل:-     27 أ³ – ب³ =  ( 3 أ – ب ) ( 9 أ² + 3أب + ب² )

 

حـلل كلا مما ياتى تحليــلا كامــلا :-

*       8 س³ – 27                                *    2 س³ + 16

*      54 س⁴ – 2س ص³                      *     س⁶  - 64 ص⁶

 

أكمـل ما ياتـى:-

·        إذا كان  س + ص = 6 , س² -  ص² = 12 , س² + س ص + ص²

فان :    س³ – ص³ = ..........

·        إذا كان:   4أ² – 2أ + 1   احد عاملـي المقـدار:   8أ³ + 1   فإن العامل الآخر  : ..........

·        إذا كان:   ( س³ – 8 ) = ( س + أ ) ( س² + 2س + 4 )   فان: أ = ....

إذا كان س³ + ك³ = ( س + ك ) ( س² - 3س + ك² )        فان: ك =.....

التحليـــل  بالتقسـيم

أولا )  تقسيم المقـدار الربـاعـي إلـى مقـدارين كـل منهما مكـون من حـدين:-

·        نقسم المقدار إلى مقدارين كل منهما مكون من حدين با ستخدام الإبدال والدمج.

·        نحلل كلا من هذين المقدارين باستخدام احد أنواع التحليل السابق دراستها.

·        نستخرج ع.م.أ من بين المقادير الناتجة  من تحليل كل مقدار.

وإذا لم نجد ع.م.أ  نحاول إجراء التقسيم مره أخرى .

Ex )   حـلل : 2 أ² – 2ب + أب – 4أ

      هنقسم المقـدار كالتـالي : ( 2أ² – 2ب )  + ( أب -  4أ )

      بأخذ ع.م.أ بين حـدود المقـدارين, نجد أن:  2 ( أ² – ب ) + أ ( ب – 4 )

      نلا حـظ عـدم وجـود ع.م.أ  بين المقـدارين  , لذا نحـاول التقسيم مره أخـرى:

       2 أ² – 2ب + أب – 4أ = ( 2 أ² + أب ) + ( - 2ب – 4أ )

                                      =  أ ( 2أ + ب ) – 2 (ب + 2أ )

       نلا حـظ وجود ع.م.أ بين المقـدارين وهو: ( 2أ + ب )

                                      = ( 2أ + ب) ( أ – 2 )        #      

 حـلل كلا ممـا يا تـى :

 

·        5ب + أس + 5أ + ب س              *  س³ – س² – 9س +9

·        س² – ص² + 5س – 5ص           *  س² – 4ص2 - 5س +10ص

·        12س³ – 8س² + 18س² ص – 12 س ص

الحل :-

 

·        5ب + أس + 5أ + ب س = ( ب س + 5 ب) +( 5أ + أس )

                                            = ب ( س+ 5 ) + أ ( 5 + س )

                                            = ( س + 5 ) ( ب + أ )                  #

·        س³ – س² – 9س +9    =  ( س³ – 9س ) + (- س² + 9)

                                            = س ( س² – 9) – ( س² – 9 )

                                            = ( س² – 9 ) (س – 1 )

                                            = ( س – 3  ) ( س + 3 ) ( س – 1 )   #

           

·        س² – ص² + 5س – 5ص = (  س² -  ص² ) + (5س – 5ص )

                                                        = (س – ص ) ( س + ص) + 5 ( س – ص)

                                                = (س- ص ) [ ( س + ص ) + 5 ]     #

·        12س³ – 8س² + 18س² ص – 12س ص

                                             = 2س [ 6س² – 4س + 9س ص – 6ص ]

                                             = 2س [( 6س² – 4س ) + (9س ص – 6ص)

                                             =2س[ 2س(3س – 2 ) +  3ص ( 3س – 2)]

                                             = 2س[( 3س – 2 ) ( 2س + 3ص ) ]     #

ثا نيــا)  تقسيم المقـدار الربـاعي إلى مقـدار ثلاثـي وحـد جبـري:-

يقسم المقدار الثلاثي إلى( مقدار ثلاثي مربع كامل ) , والحد الرابع يكون مربعا كاملا بحيث يمكن وضع المقدار الرباعي كله على صورة الفرق بين مربعين . ونلجأ إلى هذا النوع من التقسيم إذا كان المقدار الرباعي يتكون من :

1.     ثلاثة حدود كل منها عبارة عن مربع كامل اثنان منهما متحدان في الاشاره والثالث يختلف عنهما في الاشاره .

2.    الحد الرابع يكون مع الحدين المربعين المتحـدى الإشارة مقدار ثلاثي مربع كامل

حـلل :   س² – 10س ص + 25ص² – 36

·        س² +9ص² – 25 + 6س ص

·        س² – 2س ص + ص² – جـ²

·        16س² – أ² +6أب – 9ب²

الحـل:-

·        س² – 10س ص + 25ص² – 36 = ( س² -10س ص + 25ص² ) -36

                                                        =( س – 5ص )² – 36                                                                   

                                      = [( س – 5ص ) – 6 ][( س – 5ص) + 6]       #

·        س² +9ص² – 25 + 6س ص  = ( س² + 6س ص + 9ص² ) -25

                                                    = ( س+ 3ص )² – 25 

                                                    = [(س + 3ص ) – 5 ][(س + 3ص ) + 5 ]  #

·        س² – 2س ص + ص² – جـ² = ( س² – 2س ص+ ص² ) – جـ²

                                   = ( س – ص )² – جـ²

                                   =  [(س –  ص) – جـ ][( س + ص) + جـ ]     #

·        16س² – أ² +6أب – 9ب² = 16س2 – ( أ² – 6أب + 9ب² )

                                    =  16س² – ( أ – 3ب )²

                                    =  [4س – ( أ – 3ب ) ][ 4س + ( أ – 3ب )]   #

حـلل كلا مما ياتى تحليلا كا ملا :-

·        1 – س² – 4س ص – 4ص²

·        25 س² – 10س +1 – ص²

·        س³ + 8ص³ + 6س² ص + 12س ص²

·        أب س² + ب س – أس – 1

·        8م ن – 2م² + 12 ن ل – 3م ل

·        121س⁴ – 100س² – 20س – 1

·        س⁵ – س³ – س² + 1

·        4م⁴ – 9م² + 6م – 1

·        س²ص³ + 8س² – ص³ – 8

**التحليـل بإكمـال المـربع**

توجد بعض المقادير التي ليست بمربعات كاملة ولكن يمكن إكمالها لتكتب على الصورة:   مقدارثلاثى  مربع  - مربع كامل

طريقة التحليـل بإكمـال المـربع :

·        نضيف إلى المقدار المعطى ضعف حاصل ضرب جذري المربعين ثم نطرحه حتى لايتغير المقدار .

·        باستخدام الإبدال والدمج نعيد ترتيب الحدود .

·        نحلل المقدار كفرق بين مربعين ( كما سبق شرحه ) .

·        إن أمكن تحليل المقادير الناتجة حتى يكون التحليل كاملا.

فمثـلا :-

·        4س⁴ + ص⁴  = 4س⁴ + ص⁴ +( 4س²ص² – 4س²ص² )

أضفنا إلى المقدار   2× الجذر التربيعى للمقدار(4س تربيع)× الجذرالتربيعى للمقدار(ص تربيع)      ثم نطرحه حتى لا يتغير المقدار.

                   =( 4س⁴ + 4س²ص² +ص⁴ ) –   4س²ص²

                   مقدار ثلاثي مربع كامل        -  مربع  كامل

                  = (2س² +ص² )² –( 2س ص)²

                  = [ (2س² + ص² ) – 2س ص ] [(2س² + ص² ) + 2س ص ]              #

·        س⁴ + 64 ص⁴ = ( س⁴ + 64 ص⁴ + 16س²ص² ) – 16س²ص²

                                 = ( س² + ص² )² – ( 8س ص)²

                                 = [( س² + ص² ) – 8س ص ][(س² +ص² ) + 8س ص ]    #

حـلل كلا مما ياتى تحليلا كاملا:-

*     9س⁴ +2س² +1

*18 أب⁴ – 114 ب² جـ² أ + 128 أ جـ⁴

*     س⁴ -28 س² + 16

*     8س⁴ص² + 162 ع⁴ ص²

*     س² ( 9س² – 10ص² ) + ص⁴

*     3م⁴ + 3ن⁴ – 54م²ن²

*     81س⁴ + 4ع⁴

*     50س⁴ + 18ص⁴ – 68س²ص²

*     4س² ( 4س² – 7ص² ) + ص⁴

إلى هنا يكون قد اكتمل الجزء المخصص لعرض محتوى هذه الوحدة من مقرر الجبر للصف الثانى الاعدادى كنموذج لاستخدام المدونات فى تدريس الرياضيات

علما بأن 

هذا المحتوى مصحوبا بالتقويم التكوينى والمرحلى على كل درس من دروس الوحدة